Las conversiones entre números de bases diferentes se efectúan por medio de operaciones aritméticas simples. Dentro de las conversiones más utilizadas se encuentran:
Conversión de Decimal a Binario
Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos. El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.
Por divisiones sucesivas
Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es el bit menos significativo (LSB).
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
Figura 1.2.1.Ejemplo de conversión de decimal a binario
El resultado en binario de 15310 es 10011001
Por sumas de potencias de 2
Este método consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya suma equivalga al número decimal.
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
15310 = 27 + 24 + 23 + 20 = 128 + 16 +8 +1
15310= 100110012
Como se aprecia, si se cuenta con alguna familiaridad con las potencias de 2 este último método es más rápido.
Conversión de Fracciones Decimales a Binario
Para la conversión de fracciones decimales a binario se emplean el siguiente método.
Por suma de potencias de 2
Emplea la misma metodología de la suma de potencias de 2 pero se trabaja con potencias negativas.
Ejemplo
Convertir el número 0,87510 a binario.
0,87510 = (2-1) + (2-2) + (2-3) = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,1112
Por multiplicaciones sucesivas
La conversión de números decimales fraccionarios a binario se realiza con multiplicaciones sucesivas por 2. El número decimal se multiplica por 2, de éste se extrae su parte entera, el cual va a ser el MSB y su parte fraccional se emplea para la siguiente multiplicación y seguimos sucesivamente hasta que la parte fraccional se vuelva cero o maneje un error moderado. El último residuo o parte entera va a constituir el LSB.
Ejemplo
Convertir el número 0,87510 a binario.
| Número N | N X 2 | Parte entera | Peso |
|---|---|---|---|
| 0,875 | 1,75 | 1 | MSB |
| 0,75 | 1,5 | 1 | |
| 0,5 | 1,00 | 1 | LSB |
Tabla 1.2.1. Ejemplo de Conversión de Decimal a Binario.
El resultado en binario de 0,87510 es 0,111
Conversión de Decimal a Hexadecimal
En la conversión de una magnitud decimal a hexadecimal se realizan divisiones sucesivas por 16 hasta obtener un cociente de cero. Los residuos forman el número hexadecimal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.
Ejemplo
Convertir el número 186910 a hexadecimal.
Figura 1.2.2. Ejemplo de Conversión de decimal a hexadecimal
El resultado en hexadecimal de 186910 es 74D16.
Conversión de Decimal a Octal
En la conversión de una magnitud decimal a octal se realizan divisiones sucesivas por 8 hasta obtener la parte entera del cociente igual a cero. Los residuos forman el número octal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.
Ejemplo
Convertir el número 46510 a octal.
Número N | N ÷ 8 | Parte decimal | Parte decimal x 8 | Peso |
|---|---|---|---|---|
| 465 | 58,125 | 0,125 | 1 | LSB |
| 58 | 7,25 | 0,25 | 2 | |
| 0,5 | 0,875 | 0,875 | 7 | MSB |
Tabla 1.2.2. Ejemplo de Conversión de Decimal a Hexadecimal.
El resultado en octal de 46510 es 721.
Conversión de Binario a Decimal
Un número binario se convierte a decimal formando la suma de las potencias de base 2 de los coeficientes cuyo valor sea 1 (ver lección 1).
Ejemplo
Convertir el número 11002 a decimal.
11002 = 1x23 + 1x22 = 1210
Conversión de Binario a Hexadecimal
El método consiste en conformar grupos de 4 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del número binario. Enseguida se convierte cada grupo de número binario de 4 bits a su equivalente hexadecimal.
Ejemplo
Convertir el número 10011101010 a hexadecimal.
Conversión de Binario a Octal
El método consiste en hacer grupos de 3 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del número binario. Enseguida se convierte cada grupo de número binario de 3 bits a su equivalente octal.
Ejemplo
Convertir el número 010101012 a octal.
Conversión de Hexadecimal a Decimal
En el sistema hexadecimal, cada dígito tiene asociado un peso equivalente a una potencia de 16, entonces se multiplica el valor decimal del dígito correspondiente por el respectivo peso y realizar la suma de los productos.
Ejemplo
Convertir el número 31F16 a decimal.
31F16 = 3x162 + 1x16 + 15 x 160 = 3x256 + 16 + 15 = 768 + 31 = 79910
Conversión de Hexadecimal a Binario
La conversión de hexadecimal a binario se facilita porque cada dígito hexadecimal se convierte directamente en 4 dígitos binarios equivalentes.
Ejemplo
Convertir el número 1F0C16 a binario.
1F0C16 = 11111000011002
Conversión de Octal a Decimal
La conversión de un número octal a decimal se obtiene multiplicando cada dígito por su peso y sumando los productos:
Ejemplo
Convertir 47808 a decimal.
4780 = (4 x 83)+(3x82)+(8x81)+(0x80) = 2048+192+64+0= 2304
Conversión de Octal a Binario
La conversión de octal a binario se facilita porque cada dígito octal se convierte directamente en 3 dígitos binarios equivalentes.
Ejemplo
Convertir el número 7158 a binario.
7158 = (111001101)2
RepresentaciÓn de NÚmeros Enteros y de Punto Flotante
Los computadores deben interpretar números positivos y negativos. Los números binarios se caracterizan por su magnitud y su signo. El signo indica si el número es positivo o negativo y la magnitud el valor del número.
Representación de Números Binarios Enteros
Existen tres formas de representar los números binarios enteros con signo:
Signo – magnitud.
Complemento a 1.
- Complemento a 2.
a. Signo – Magnitud
En el sistema Signo – magnitud los números positivos y negativos tienen la misma notación para los bits de magnitud pero se diferencian en el bit del signo. El bit del signo es el bit situado más a la izquierda en el número binario:
En números positivos se emplea el bit "0".
En números negativos se emplea el bit "1".
El número no debe estar complementado.
Ejemplo
El número decimal 21 se expresa en binario de 6 bits 010101, donde el primer bit "0" denota el bit de una magnitud positiva. El número decimal –21 se expresa en binario 110101, donde el primer bit "1" denota el bit de una magnitud negativa.
b. Complemento a 1
El complemento a 1 en binario se obtiene cambiando los unos por ceros y los ceros por unos. La representación de números positivos en complemento a 1 sigue las mismas reglas del sistema signo-magnitud y la representación de los números negativos en complemento 1 es el complemento a 1 del número positivo.
Ejemplo
El número decimal 21 se expresa en complemento a 1 a 6 bits como 010101, donde el primer bit "0" denota el bit de una magnitud positiva.
El complemento 1 a 6 bits del decimal –21, se obtiene por medio del complemento a 1 del número positivo 010101 el cual es 101010.
Ejemplo
Un forma de obtener el complemento 1 de un número binario es utilizar un circuito digital compuesto por inversores (compuertas NOT). En la figura siguiente las entradas se encuentran ubicadas en la parte superior y las salidas negadas en la parte inferior.
Interatividad 1.3.1. Circuito de inversores que ejemplifica el complemento a 1 de una expresión.
c. Complemento a 2
Los computadores utilizan la representación binaria en complemento a 2 para representar números negativos. La representación de números positivos en complemento a 2 sigue las mismas reglas del sistema signo-magnitud y la representación de los números negativos en complemento a 2 se obtiene de la siguiente forma:
Se representa el número decimal dado en magnitud positiva.
El número de magnitud positiva se representa en forma binaria positiva.
Se obtiene el complemento 1 del número binario obtenido en el paso anterior mediante el cambio de los unos por ceros y viceversa.
Al complemento 1 se le suma uno y el resultado es la representación en el complemento 2.
Ejemplo
Representar el número –510 en binario, utilizando el complemento a 2 con 5 bits.
- –5 ® 5.Escribimos el número +510 en binario de 5 bits
- Obtenemos el complemento a 1 de 0101
- Al complemento de número anterior se la suma 1. El resultado es 1011.
- Obtenemos el número 1011 en complemento a 2.
0101
1010
Ejemplo
Obtener el complemento a 2 del número positivo de 8 bits 000001012 (+510).
El equivalente en complemento a 1 es 11111010. El complemento a 2 del número es 11111011. Comprobando los pesos en decimal se puede demostrar la obtención del negativo del número inicial utilizando el método del complemento a 2:
111110112 = (-128 + 64 + 32 +16 + 8 + 0 + 2 + 1)10 = - 510
En la representación en complemento 2 el primer bit del lado más significativo puede interpretarse como el signo, siendo cero para números positivos y 1 para números negativos. Se puede comprobar que si a una cantidad negativa expresada en complemento 2 se le saca su complemento 2, se obtiene la magnitud positiva correspondiente.
Representación en Punto Fijo y en Punto Flotante
En los computadores los números se representan en punto fijo y en punto flotante.
Punto fijo
Se usa para los números enteros con signo o fracciones con signo. En este caso las cantidades se representan en forma binaria en complemento a 1 ó a 2 y se pueden utilizar longitudes de 8, 16 y 32 bits. En 8 bits el rango va desde 128 hasta 127. El número de combinaciones diferentes de un número binario de n bits es:
No.total de combinaciones: 2n.
En los números con signo e complemento a 2, el rango de valores para números de n bits:
(2n-1) a +(2n-1-1).
Enteros con signo
Los enteros de punto fijo usan un punto binario a la derecha del LSB.
Ejemplo
El número de punto fijo de 8 bits 01110101 en complemento a 2, por tener un 0 en el bit de signo representa:
El número entero positivo 1110101 ó la fracción positiva 0.1110101
Fracciones de punto fijo
Las fracciones de punto fijo usan el punto binario entre el bit de signo y el MSB.
Ejemplo
El número de punto fijo de 8 bits 11001111 en complemento a 2, por tener un 1 en el bit de signo representa:
El número entero negativo -0110001 ó la fracción negativa -0. 0110001.
Punto flotante
El punto flotante se utiliza para representar números no enteros, números muy grandes o números muy pequeños.
Un número en punto flotante se expresa como
m x re
donde,
m es la mantisa y es un número de punto fijo
e es el exponente o característica y es un entero de punto fijo
r es la base. En los computadores personales se usa base 2.
La mantisa representa la magnitud del número. El exponente es la parte que representa el número de lugares a desplazar el punto decimal o binario.
Sí tenemos un número de punto fijo de la forma
± (an-1 .... a0 . a-1 ….a-m)r
en forma de punto flotante será de la forma
± ( . an-1 ....a-m)r x rn , la base generalmente se omite.
Con frecuencia la mantisa m se escribe con magnitud y signo de la siguiente forma, y en forma de fracción
M = (sm . an-1 … a-m)
donde, sm indica el signo (1 para una cantidad negativa y 0 para una cantidad positiva) y . an-1 … a-m representa la magnitud.
Un número de punto flotante está normalizado si el exponente se ajusta de modo que la mantisa tenga un valor distinto de cero en la posición más significativa.
Ejemplo
El número +1010.0111 en representación normalizada en punto flotante da como resultado
(0.10100111) x 24
El estándar ANSI/IEEE 754-1985 define tres formatos para los números de punto flotante:
Precisión sencilla: Utiliza 32 bits.
- Doble precisión: Utiliza 64 bits
- Precisión ampliada: Utiliza 80 bits.
Ejemplo
Un formato a 32 bits es el siguiente,
El exponente desplazado se obtiene adicionando 127 al exponente real y convirtiéndolo al binario correspondiente.
Operaciones AritmÉticas en Binario
Los circuitos de control básicos y los computadores efectúan operaciones aritméticas. Estas operaciones se realizan en sistema binario y las leyes que las rigen, son paralelas a las usadas en el sistema decimal. A continuación se describe cada una de las metodologías para realizar tales operaciones.
Suma Binaria
La suma de dos cantidades binarias empieza con la suma de los dos dígitos menos significativos de los sumandos y un acarreo inicial de cero ó uno (Acarreo Cin). Esta operación puede producir un bit de acarreo (Acarreo Cout) para la suma de la siguiente posición significativa. En la tabla 1.4.1. las entradas A, B y Cin denotan al primer sumando, el segundo sumando y el acarreo de entrada. Las salidas S y Cout representan a la suma y el acarreo de salida.
| Sumando A | Sumando B | Acarreo Cin | Acarreo Cout | Suma S |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tabla 1.4.1. Suma binaria
Ejemplo
Efectuar la suma de 010110 y 101010.
| 1 | 1 1 1 1 | Acarreo | Comprobación en decimal: | ||||
| 0 1 0 1 1 0 | 22 | ||||||
| + | 1 0 1 0 1 0 | + | 42 | ||||
| 1 | 0 0 0 0 0 0 | 64 | ( 26) | ||||
La suma de 2 magnitudes binarias en representación de complemento a 2, da como resultado la suma binaria en complemento a 2.
Resta Binaria
En la resta binaria, los bits del minuendo de las columnas se modifican cuando ocurre un préstamo. En la tabla 1.4.2. las entradas A, B y Bin denotan el minuendo, el sustraendo y el bit prestado. Las salidas D y P representan a la diferencia y el préstamo. La tabla muestra los resultados de una resta binaria de dos bits,
| Minuendo A | Sustraendo B | Préstamo Bin | Préstamo P | Diferencia D |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tabla 1.4.2. Resta binaria
Para A=0, B=0 y Bin=1, hay que tomar prestado un 1 de la siguiente columna más significativa, lo cual hace P=1 y agregar "en decimal" 2 a A. La resta 2-0-1=1, da como resultado en binario D=1. Los prestamos se propagan hacia la izquierda de columna en columna.
Ejemplo
Restar 10012 de 100112.
| Renglón 2, Tabla 1.4.1. 0 - 1 = 0 con un préstamo de la columna izquierda. 10 - 1 = 1 | ||||||
| ↓ | Renglón 1, Tabla 1.4.1. 0 - 0 = 0 sin préstamo. | |||||
| ↓ | Renglón 3, Tabla 1.4.1. 1 - 0 = 0 sin préstamo. | |||||
| ↓ | Renglón 4, Tabla 1.4.1. 1 - 1= 0 sin préstamo. | |||||
| ↓ | ||||||
| 1 | Préstamo | |||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||
| - | 0 1 0 0 1 | |||||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
Rebasamiento
El rebasamiento se presenta cuando la suma de la columna más significativa genera un acarreo. El rebasamiento sólo se puede producir cuando ambos números son positivos o negativos.
Ejemplo
Efectuar la suma de 86510 y 41210.
| 1 | Acarreo | ||
| 8 6 5 | |||
| + | 4 1 2 | ||
| 1 | 2 0 7 | ||
| ↑ | |||
| Rebasamiento | |||
Ejemplo
Efectuar la suma de 1102 y 1102.
| 1 | 1 | Acarreo | |
| 1 1 0 | |||
| + | 1 1 0 | ||
| 1 | 1 0 0 | ||
| ↑ | |||
| Rebasamiento | |||
Resta binaria en Complemento a 2
En la lección anterior se vió que el signo de un número positivo ó negativo se cambia calculando su complemento a 2. La resta de dos números con signo se calcula sumando el complemento a 2 del sustraendo al minuendo y descartando cualquier bit de acarreo final.
El siguiente procedimiento es necesario para calcular la resta de dos números:
Obtener el complemento a 2 del sustraendo.
Efectuar la suma del minuendo y el sustraendo en complemento a 2.
Sí la suma presenta rebosamiento indica que la repuesta es positiva. Ignore el rebasamiento.
Si no hay rebosamiento, entonces la repuesta es negativa. Para obtener a magnitud del número binario, obtenga el complemento a dos de la suma.
Ejemplo
Sustraer (1010111 - 1001000)2
1. El complemento a 2 de 1001000 es 0111000.
2. Sumamos el primer sumando y el complemento a 2 obtenido.
| 1 | 1 1 | Acarreo | Comprobación en decimal: | |||||
| 1 0 1 0 1 1 1 | 87 | |||||||
| + | 0 1 1 1 0 0 0 | - | 72 | |||||
| 1 | 0 0 0 1 1 1 1 | 15 | ||||||
| ↑ | ||||||||
| Rebasamiento (Se ignora ) | ||||||||
3. La respuesta es 00011112.
Multiplicación Binaria
La multiplicación de dos cantidades binarias es necesario considerar lo siguiente:
| Multiplicando A | Multiplicador B | Multilplicación (A*B) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Tabla 1.4.3. Multiplicación binaria
La multiplicación binaria cumple las mismas reglas de la multiplicación decimal. En el próximo ejemplo se ilustrará la multiplicación binaria.
Ejemplo
Multiplicar las cantidades 1011 y 1101.
Figura 1.4.4. Multiplicación binaria
Multiplicación con signo
Se representan los operandos en complemento 2 y el resultado también se obtiene en complemento 2. El último multiplicando desplazado se niega.
Principios de DiseÑo de LÓgica Combinatoria
Los sistemas digitales combinatorios son aquellos cuyas salidas sólo dependen de las entradas actuales. Los circuitos de este tipo no pueden contener lazos de retroalimentación. En análisis de circuitos combinacionales, se empieza con un diagrama lógico y se obtiene una descripción formal de la función realizada por el circuito, ya sea una tabla de verdad o una expresión lógica. En la síntesis, se comienza con una descripción formal y se termina con un diagrama lógico. El diseño es una estrategia para resolver un problema por medio de la síntesis.
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